Mir fallen jetzt keine Unterschiede ein... Die gleiche Bedeutung hat das Wort "Zuständigkeit"; "Zuständig...ung" gibt es nicht. Meistens ist es egal (/gleich). Manchmal gibt es nur eines dieser Wörter in einem längeren Ausdruck. Man kann es nicht mit dem anderen ersetzten. Ich benutze "Verantwortlichkeit" nicht, weil es mir zu umständlich (/zu kompliziert) klingt. Und ich vermeide auch Wörter mit "...ung". Besser ist "verantwortlich". Aber einige Leute reden gerne so. Das fällt in (/unter) deine Verantwortung. Das fällt in (/unter) deine Verantwortlichkeit. Dafür bist du verantwortlich. Das hast du zu verantworten. (komplizierter) Wer hat (/trägt) dafür die Verantwortung? Wer ist dafür verantwortlich? Fälle, in denen man die Begriffe (/Wörter) nicht austauschen kann: Er trägt eine große Verantwortung. (Verantwortung tragen, hier geht "Verantwortlichkeit" nicht.) Das fällt in deinen Verantwortungsbereich (nicht "Verantwortlichkeitsbereich" (das klingt zu kompliziert), aber "Zuständigkeitsbereich" ist möglich)

Verantwortung bedeutet die Möglichkeit, dass jemand für die Folgen eigener oder fremder Handlungen Rechenschaft geben muss. Sie drückt sich darin aus, bereit und fähig zu sein, später Antwort auf mögliche Fragen zu deren Folgen zu geben. Eine Verantwortung zieht immer eine Verantwortlichkeit nach sich, d. h. dafür Sorge zu tragen, dass die Entwicklung des Verantwortungsbereichs im gewünschten Rahmen verläuft