どちらも良く使います。
例えば、
彼女は私の『大切な』友達です。とは言いますが、
彼女は私の『重要な』友達です。とは言いません。
あのお客様は私たちにとって『大切な』お客様だとは言いますが、
あのお客様は私たちにとって『重要な』お客様だとはあまり言いません。
Takeshiさんがおっしゃるように、
『大切』は心理的
『重要』は物理的
に使うことが多いので、
大切な友達、お客様というのは、自分にとって大事な人で、思いやりや愛情を持って接する相手のこと。
一方、
重要なお客様というのは、感情というよりもビジネスパートナーの意味合いが強いです。
日本語を説明するのは日本人でも難しいですね[emoji]