Hola Archan,
Significa que hay que hacerlo inmediatamente, lo antes que se pueda en el tiempo. Si hubiera un muchas tareas que hacer, eso sería lo primero.
Por ejemplo: nos vamos de viaje a la montaña y la previsión meteorológica dice que va a llover pronto entonces decimos: "Tenemos que salir cuanto antes" es decir "Tenemos que irnos ya" antes de que empiece a llover.
Otro ejemplo; se ha producido un incendio en la oficina y estamos dentro, entonces decimos: "Se está extendiendo el fuego tenemos que salir de aquí cuanto antes" es decir " Tenemos que salir de la oficina ya" antes de que nos alcance el fuego
Espero haberte ayudado