No, la palabra "conmigo" se pronuncia tal cual, se diferencia perfectamente la N de la M. Es como si dices CON y luego MIGO pero todo seguido, sin espacio. Es posible que en distintas regiones del sur de America o España, la pronunciación tienda a ser como tú dices, pero eso sólo sería un fenómeno local propio de la cultura.

se escribe y se pronuncia igual, "conmigo", pero puede que lo pronciaron muy rápido tu solo fuistes capaz de escuchar "comigo" o bien porque simplemente lo pronunciaron asi.

conmigo

CONMIGO, CONSIGO, CONTIGO, son pronombres personales en los cuales la preposición CON forma una sola palabra con los pronombres MI, TI, SI, más el componente GO que procede del latín CUM (MECUM = MIGO, TECUM = TIGO, SECUM= SIGO).