Depende del país. En Argentina, como han dicho, tiene otras connotaciones. En España, "coger" es un verbo usado muy frecuentemente y no suena vulgar en absoluto.

Coger is perfectly correct. Only uneducated people could be offended because they don't realize it is perfect word and they use it in a bad way. Don't let them take over the language mi pana. http://www.wordreference.com/definicion/coger

En España la diferencia entre los dos verbos es la siguiente: agarrar es más utilizado para sujetar a algo o a alguien con más fuerza, por ejemplo: agárrate a mi mano. Mientras que coger se usa para utilizar un transporte (ejemplo: coger un autobús, taxi, avión...) o también para alcanzar algo (ejemplo: coge el libro que está en esa estantería)

La palabra "agarrar" se usa cuando quieres tomar algo con las manos. La palabra "coger" se puede usar cuando quieres subir a un bus: "coger un bus" o tomar algo con las manos. En otros países usan la palabra "tomar" en vez de "coger", por ejemplo: "tomar el bus", "toma la caja". También la palabra "tomar" se usa como sinónimo de "beber": "toma el jugo", "toma la leche", "tomen el té". Espero que te haya servido.

Es simple: Si te encontrás en Argentina o Uruguay deberías reemplazar la palabra "coger" (que allí significa vulgarmente "copular") por las palabras "agarrar", "tomar" o "tener". Si te encontrás en cualquier otro país de habla hispana, podés usar "coger", y cualquiera de las otras expresiones ya mencionadas, sin ningún sentimiento de culpa. ¡Saludos!