「体言+びる」も「体言+めく」も「~らしくなる/~のように見える」という意味なのですが、「~びる」はマイナスの変化やマイナスの様子を表し、「~めく」はどちらかというとプラスの変化やプラスの様子を表します。
「~らしい」はいろいろな言葉につけて使うことができますが、「~めく」と「~びる」は接続できる語が限られています。くっついた状態で覚えた方が良いと思います。
「~めく」の例
春めく/夏めく/秋めく/時めく/色めく/艶めく/古めく
「~びる」の例
大人びる/田舎びる/古びる/ひからびる/下卑(げび)る