Признаю, что я это сделал.     = Подтверждаю (соглашаюсь), что я это сделал. 

Признаюсь, что я это сделал. = Сообщаю (даю показания и т.п.), что я это сделал.

Смысл обоих фраз очень близкий, разница в ньюансах. 

В других контекстах слова могут давать и совершенно разные значения:

Признаюсь вам в любви.

Признаю ваше превосходство надо мной в этом деле.

(в этих предложениях заменить Признаюсь <-> Признаю нельзя)

Признаю, что я это сделал. = Да, я это сделал

(более нейтральный оттенок смысла)

Признаю = соглашаюсь

Признаюсь, что я это сделал. = Вынужден согласиться, что я это сделал

(более негативный оттенок смысла)

Признаюсь = рассказываю что-то вопреки своему желанию (под давлением), неохотно