私について

こんにちは！ 初めまして！

私の名前はレオです。私は２５歳で既婚（きこん）です。　既婚（きこん=結婚しているひと） 

職業（しょくぎょう =My occupation/my job) は、ウェブデザイナーです。

(or, ウェブデザイナーをしています）。

私は娘をもっている。彼女は８歳です。　

８歳になる小学生（しょうがくせい= Elementary school students）の娘もいます。 
音楽は私の趣味です。

(The correct grammar as " 私の趣味は音楽です= 私の趣味は音楽を聴く（きく=listen to) ことです/ 私の趣味は音楽を演奏（えんそう=play of ）することです。）

However it's olso good as you wrote Japanese!! Because it's almost always not be change the meaning of Japanese phrase, even you were crossing a grammmar.^-^)

そして日本語の勉強も。これは難しいけど面白いです！
家に猫がいます。猫の名前はりゅりゃです。猫はとても楽しです。
どうぞよろしくおねがいします。

(I corrected your sentence it seems a lot, because I thought your Japanese skills really high. ^-^

I could understand your Japanese COMPLETELY. Your sentence were so CLEAR what you want to say.  So that's why I corrected your sentence in a native level. You are awesome!! ^-^b）

私について(or 自己紹介[じこしょうかい])

こんにちは！
初めまして。
私の名前はレオです。(私は)２５歳です。
初めまして！
(私は)結婚しています。私には娘がいますをもっている。彼女は８歳です。彼女は小学生です。
私はウェブスタジオではたらいていきます。ウェブデザイナーです。
音楽は私の趣味です。日本語も。日本語はこれは難しいけど面白いです！
家に猫がいます。猫の名前はりゅりゃ(or リュリャ)です。猫はとても楽しいです。
どうぞよろしくおねがいします。

I would say:

こんにちは。初めまして。

私の名前はレオです。25歳です。ウェブスタジオではたらいています。ウェブデザイナーです。

結婚しています。娘がいます。8歳で小学生です(or 8歳で学校に行っています)。

私の趣味は音楽(を聞くこと)と日本語(をべんきょうすること)です。日本語は難しいけれど面白いです。

猫を飼っています。名前はリュリャです。猫はとてもかわいいです。

どうぞよろしくおねがいします。

Great job!