Basiquement, on n'utilise "aller" qu'avec une préposition + nom de destination (去 ou 到)
Alors que partir c'est plutôt 出发, 离开, 走到
"Je vais au supermarché". "Je vais en Chine". "Je vais aux toilettes".
On peut utiliser "partir" tout seul.
"C'en est trop, j'en ai assez, je pars !" (ici c'est 离开)
Celà se traduit aussi par "quitter un endroit". "Je pars" = "Je quitte cet endroit" (我离开这里)
Ou bien encore accompagné de prépositions, "pour", "vers", "à"
"Je dois partir pour Shanghai, puis pour Hong-Kong, puis pour Taiwan" (ici on peut traduire "partir pour" par 前往, c'est l'idée d'une destination plus lointaine, qui nécessite une préparation plus importante qu""aller à")
"Où part-il ?"
"Vers le soleil couchant ! Tu sais c'est un pauvre cow-boy solitaire loin de son foyer..."
Ici c'est plutôt 出发去(某地). La destination n'est pas forcément une étape, le plus important est le mouvement de départ dans cette direction.
"Dès que je suis arrivé au bungalow, je pose mes affaires et je pars tout de suite à la plage."
Ici c'est plutôt 走到, très proche de "aller à" en fait. On prend le départ pour un endroit bien défini. (c'est très courant)
En résumé, si vous dites "je pars pour la France" celà indique plutôt l'idée d'un voyage vers une destination lointaine. Alors que si vous dites "je vais en France", ça sonne un peu comme "je vais au marché", on croit que c'est plus proche ou plus facile pour vous.