Podríamos decir, me apaño bien. Me apaño a mi mismo, es un pronombre reflexivo, yo hago la acción y yo la recibo. Pero decir me "las" apaño, se refieren a las contingencias a los imprevistos que pueden surgir. Hacen referencias a cosas del exterior que puedan surgir. No obstante el significado es prácticamente el mismo.

El verbo 'apañar' tiene un significado (o varios). El verbo pronominal 'apañarse' tiene un significado diferente. La locución verbal 'apañárselas' tiene un significado diferente de los anteriores. Puede que no sea terriblemente diferente, pero es diferente. Tienes que considerar «me las apaño» como un grupo de palabras que tienen significado como grupo, es decir, si están todas presentes. Un ejemplo parecido en inglés es: 'look into'. Es un grupo de palabras con significado propio y aunque pudiera guardar cierta similitud con 'look', no es lo mismo. En la entrada 'apañar' del diccionario de la RAE encontrarás 'apañárselas'.