"Navegar la red" y "navegar por la red", ambos son correctos. Ambos se escuchan bastante en España. En Latino América uno puede escuchar "Surfear en Internet", "Surfear por Internet", como también "navegar la net", "navegar por internet", etc. Puedes usar varias cantidades de combinaciones, depende del dialecto. (Los cuales no estarán correctos a lo que La Real Academia dice, pero uno escucha varias combinaciones).

Navegar es un verbo intransitivo salvo para navegar un barco, por lo que no puedes navegar otra cosa. Por tanto no es correcto navegar la red. Sí lo es navegar por la red; también, aunque menos frecuente, es correcto navegar en la red. Saludos.

Sí.

"Navegar la red" suena raro, es más correcto "Navegar por la red".