'기분이 어떤지'와 '기분이 어떨지'
어떤 차이가 있나요?

Question

Answer

"어떨"은 가정법(假定法)입니다.

지금 그의 기분이 어떤지 알고 싶다.
일종의 사고가 있었고, 지금 그의 생각이 궁금하다는 얘기입니다.

만약(萬若) 이 일을 알게 되면 그의 기분이 어떨지 알고 싶다.
어떤 전제(前提)에 부합(符合)되는 경우(境遇)를 말합니다.

Answer

It's  conjunctive (or future tense)

그의 기분이 어떤지 알고 싶다 = I'd like to know how he feels.

그의 기분이 어떨지 알고 싶다 = I'd like to know how he would feel (if something happened)

Answer

기분이 어떤지 = 気持がどう？　または　気持がいいかどうか？に近います。
기분이 어떨지 = （相手または誰かの）気分がどうか（思ったことがあるか？）だと思います。
結局、次の方は仮定の意味が含めています。