Buenas tardes, Dan.
Aunque teóricamente 'expect' se corresponde con el español 'esperar', creo que muchas de las veces que en inglés decís "I expect..." en español usamos verbos distintos a 'esperar'. La construcción 'Espero que..." se corresponde más bien con el "I hope..." inglés.
En mi opinión, las equivalencias en español de las frases que propones podrían ser así:
1) I expect them to be OK. (I was prepared, I am not worried). -> Supongo que estarán bien / Me imagino que estarán bien /
2) I hope they will be OK. (I'm not sure, I'm worried). -> Espero que estén bien.
En este par, observa también la diferencia entre el uso del tiempo futuro -que sirve para marcar la probabilidad- y el del modo subjuntivo, que sirve para expresar deseos.
En cuanto al otro par, las equivalencias que me parecen más naturales y usuales en español serían:
3) I don't expect them to find them. (There are no termites, we just need the inspection to reassure the buyer). -> No creo que las encuentren / Creo que no las encontrarán
4) I hope they won't find them. (I've sometimes wondered if we have them). -> Espero que no las encuentren.
En resumen, creo que en el discurso espontáneo y normal, el uso de 'expect" equivale al de verbos como 'suponer', 'creer', 'imaginar', etc., que tienen que ver con la anticipación de posibilidades futuras, mientras que 'esperar' se usa más en el sentido de 'hope'.
Espero haberte sido de ayuda,
David.