"fahren" ist schnell und nicht unbedingt immer zärtlich. Wenn der Kontext deutlich macht, dass man den Hund mag und das "Fahren" zärtlich gemeint ist, ist es in Ordnung. Ich musste da direkt an "über den Mund fahren" denken, was bedeutet, dass man jemanden nicht ausreden lässt. "Einmal über den Kopf fahren" haben wir früher einen typischen, nicht gerade liebevollen Jungenhaarschnitt (einmal schnell mit der Haarschneidemaschine drüber und kurz schneiden/rasieren) genannt. Ich finde "streicheln" am besten, weil es immer positiv ist. Als Alternative "streichen".

1. Die Bedeutung ist sehr ähnlich. Mit der Hand über etwas streichen oder fahren das ist in der Regel eine einmalige, sachte Berührung, bei der sich die Hand in eine Richtung bewegt. Man kann jemandem über den Kopf, die Wange, den Arm, den Rücken streichen oder fahren. Man kann mit der Hand aber auch über ein Buch oder ein Möbelstück oder ein Geländer u. ä. streichen oder fahren. 2. Streicheln wird ohne Präposition verwendet. Ich streichle dem Hund den Kopf. Ich streichle die Katze. Streicheln ist keine einmalige Bewegung, sondern ein mehrmaliges oder auch länger währendes Streichen oder auch Kraulen. Satz 2 b ist grammatikalisch zwar richtig, klingt aber sehr gestelzt, ich denke nicht, dass das jemand so sagen würde. Das Wörtchen "hin" würde ich hier auf jeden Fall weglassen.