Anstrengung
Bedeutung
Bemühung, Kraftaufwand, Einsatz (für ein Ziel)
BEISPIELE
vergebliche Anstrengungen
seine Anstrengungen verstärken, verdoppeln
mit äußerster, letzter Anstrengung
Anstrengungen machen, (gehoben:) unternehmen (sich anstrengen, sich sehr bemühen)
Mühe
Bedeutung:
mit Schwierigkeiten, Belastungen verbundene Anstrengung; zeitraubender [Arbeits]aufwand
BEISPIELE
das ist verlorene Mühe (das ist vergeblich, nützt nichts)
etwas bereitet Mühe
er scheute keine Mühe, sein Ziel zu erreichen
machen Sie sich bitte keine Mühe! (keine Umstände, bitte!)
die Mühe kannst du dir sparen (es ist zwecklos; das lohnt nicht; du erreichst nichts)
er hatte alle Mühe (es kostete ihn einige Anstrengung), die Sache wieder in Ordnung zu bringen
mit äußerster Mühe etwas schaffen
Anstrengung is rather connected with physical exhaustion, while Mühe is not physical.