Освобождать - это о людях, содержащихся в неволе (в тюрьме, в рабстве). Редко о животных.
Выпускать - о людях и о животных, содержащихся в неволе. А также о людях и животных, которые были ограничены в перемещении по разным причинам. Например, в Шотландии выпустили в дикую природу группу рысей, которые должны воссоздать популяцию рысей в Великобритании. Десятиклассников выпустили из класса, когда перемена уже подходила к концу.
Выпускать в значении to release - это также про музыкальную продукцию и фильмы.
Отпускать - это позволять кому-то уйти. Если выпускать подразумевает движение из чего-то замкнутого наружу: рысей выпустили из клеток, десятиклассников выпустили из класса, то отпускать не имеет движения из замкнутого пространства наружу. Например, из-за жары компании отпустили сотрудников с работы.