La diferencia es muy sutil, "chato" se suele decir de la nariz exclusivamente (si lo empleas en alguna parte del cuerpo), sin embargo, también significa que una cosa tiene menos relieve, longitud o elevación de lo normal. Por otro lado, "plano" significa llano, liso, sin relieves. Con esto espero, de paso, haberte respondido a la primera pregunta, en la que lo correcto académicamente sería emplear "chato" para la nariz, plano para el resto de tus ejemplos. En el caso del hocico es más habitual el empleo del adjetivo "chato", supongo que esto ocurre porque de algún modo es la nariz de un animal. Para el resto de cosas, dependerá del matiz, si quieres expresar que no tiene ningún relieve (plano) o que tiene menos del habitual, pero tiene (chato). Así, habrá calzados de suela PLANA, pero no habrá una caja plana, porque dejaría de ser una caja, ni una botella, ni una cantimplora, pero sí puedes decir que una caja está achatada, o una cantimplora, o una botella. Para terminar, te diré que "orilla plana" sigue otras reglas, ya que es un uso más simbólico, pero jamás oirás a nadie decir "orilla chata".

Chato corresponde a rasgos faciales. Sin embargo, plano o plana es para cosas o superficies.