Учить кого-либо (acc.c.) чему-либо (dat.c.) to teach smb. smth. To transfer knowledge and skills; to teach, instruct, give lessons; to educate, bring up. Perfective aspect научить, обучить. Я сама учу сына математике.
Учить что-либо - to learn smth. To memorize or assimilate by repetition. Perfective выучить. Я учу русский язык уже пять лет, но никак не могу его выучить. Я учу стихотворение.
Учиться чему-либо (dat.c.) to learn smth. To gain new knowledge, skills and experience. Я учусь русскому языку (less common, but possible version. Я учу русский язык is more popular saying the same idea). Я учусь играть на саксофоне.
Изучать что-либо - To learn or master smth during the process of study. To study by the means of a scientific research. To study carefully; to explore; to come to know inside out English translations: to study, master; to explore, make a careful study of smth.
Заниматься чем-либо instr.c. - to learn, to study, be occupied with not only sciences, but any activities. По вечерам я занимаюсь математикой. Я люблю заниматься огородом.