Si tú intentas mover a un burro, suele resistirse, suele quedarse quieto. Mover a un burro es difícil. Ahora bien, cuando tú le pones "una carga", como un peso encima del burro, el burro empieza a andar. Por eso decimos "La carga echa andar al burro." Cuando tú le das una responsabilidad a una persona, aunque ésta parezca muy vaga o "burra", con perdón de la expresión, ésta persona empieza a moverse y a actuar en consecuencia para lograr su meta.

José lo ha explicado perfectamente, no puedo añadir nada más, excepto que lo correcto es: "La carga echa A andar al burro"