for your first question, the answer is both are ok. literally speaking, "逛街“ is equivalent to " hang out on the street", but it could also imply that you "go shopping"; for the second one, "去逛街” is the standard expression, "逛街去“has the same meaning, you can see it as a slang term.

逛街 means "go shopping"

“去逛街”和“逛街去”都是正确、正常、常用的汉语，无所谓哪个标准，哪个不标准，只个是口语，那个是书面语之类。 “你去干啥？”一般会回答“我去逛街”。 “你干啥去？”一般会回答“我逛街去”。 不去细究，它们没什么差别。但是，就从语言的角度来说，它们是有细微的差别的，它表达了人们关心的重点的不同。这两种不同语序，如果是用于它的事，可能就会表现出很大的不同。只不过在这个特定的情况下，这两种表达方式没有太大的差别。而不能说这两种表达方式表达的含义相同。

不知道有没有地域问题，就我知道的，“逛街”包含的意思简单的说，就是“逛”＋“街”，你觉得“逛”是什么意思呢？ 那么如果非要说得很具体，其实，是在说人在“逛街”时做些什么。从这角度说，逛街可以表达，在街上闲逛，去购物，去各种商店只逛不卖，也可去吃饭，买零食，看街头表演……，男女朋友在街上约会……。 所以我，重点在“逛”，就是没有目的性的，并没有一个固定的计划与打算，因此，在逛的过程可能会做任何事情！因此，并不能理解成“逛街”就是去购物，或是去看电影等等，逛街就是逛街，但在逛街的过程中可能会发生、出现、做任何在“街”这个一环境下可能发生、出现、可以做的事。

The answer of your first question is both are ok. But in Chinese, we usually use the word "散步" when we want to take a walk, and "逛街" is mostly in the implication of go shopping. As for the second question, both phrases are grammatically right. Whether we are answering others' questions or suggesting others to go shopping with us, the two phrases can replace each other.