There is no verb "möchten", these forms are really just the Konjunktiv II ones of "mögen". So the difference is similar to "like" vs. "would like" in English.

Hi Daniel, diese Wörter kann man unterscheiden nach einem Wunsch (=möchten) und einem Gefallen (=mögen). Beispiel "Wunsch": Ich möchte Basketball spielen. (Du wünscht dir das) Beispiel "Gefallen": Ich mag Basketball. (Du sagst nur dass es dir gefällt) Beispiel "Wunsch": Ich möchte noch ein Stück Kuchen essen. Beispiel "Gefallen": Ich mag (allgemein) Kuchen. Ich hoffe das hat dir etwas geholfen :)