1.私を招待してありがとうございます。
→ご招待いただき、ありがとうございます。
2.私は3年生の時にインターンシップをする必要があります。
→You mean"You need to do internship when you are on 3rd grade"?
If so, It's OK.
私は3年生なので、インターンシップをする必要があります。
1 I have not learnt webdesign yet, but I am very interested.
まだウェブデザインを勉強したことはありませんが、とても興味があります。
2 I hope I can learn a lot from you. I am sorry if I am still lacking in skills.
皆さんから多くのことを学びたいと思っています。スキルが足りない部分も多いと思いますが、お許しください。
3 I cannot speak Japanese very well so I hope we can communicate well.
私は日本語が上手ではありませんが、うまくコミュニケーションしたいと思っています。
Hope this would help! Enjoy your internship in Tokyo! がんばってくださいね!