無くす means, you lost something and it's your fault. 失う is more neutral. It isn't necessarily your fault. If you say 「お金をなくした」, I think of: just lost a purse. If you say 「お金を失った」, I think of: robbery, fraud or failure of an investment. When I'm looking for glasses or something and think "ok, it's not my fault, I just can't find it", I'd say 「メガネがどこかに行った」「メガネが見えなくなった」「メガネがなくなった」 There are many phrases, in those 「なくす」and「失う」are equivalent. For example, both「やる気をなくす/失う」are correct. And there are similar words「亡(な)くす/喪(うしな)う」but they mean someone related to you passes away.

「なくす」と「失う」はほぼ同じ意味で使われます。しかし使い方は少し違います。「かぎをなくす」とふつうは言いますが、「かぎを失う」ということは少ないです。「失う」はすこしあらたまった表現です。たとえば、「勉強する機会を失った」などと言うときに使います。また「なくす」はある人が死んでしまったときにも使います。たとえば「母をなくした」(＝母が死んでしまった）などです。うまく説明できていないかもしれませんが、参考になればうれしいです。