어디 가요?, 어디에 가요?, 어디로 가요?
어디 가요? is a common colloquial form of 어디에 가요? There's no difference.
로 in 어디로 가요? implies a movement more serious, like relocating for a long term stay or traveling very far, as opposed to the common, day to day sense of 에.
For example:
- A: 이번에 전근 가게 됐어요. - I ended up transferring to a new post.
- B: 그래요? 어디로 가세요? - Is that right? Where will you be at?
- 서울로 가는 길 - the road to Seoul.
- 미국으로 가는 비행기 - an airplane going to America.
Another difference between 에 and (으)로 is that, in some contexts, 에 emphasizes arriving at the destination while (으)로 is about the direction of movement.
- 고개를 이쪽으로 돌려 봐. - Try and turn your head toward me. (not 이쪽에 돌려 봐).
- 이리로 와 - Come this way / Come here. (same as 이리 와. We never say 이리에 와)
- 저리로 가 (go that way), 그리로 가 있어 (go and wait there), etc.