Segundo o Dicionário Priberam:
Vestiário > Local onde se depositam e mudam as roupas, em escolas, locais de trabalho, ginásios, etc.
Balneário > Local devidamente equipado onde se pode tomar banho, trocar de roupa e guardar pertences pessoais temporariamente (ex.: os balneários da fábrica eram modestos mas asseados; houve confrontos entre os jogadores à saída dos balneários). [Mais usado no plural.]
Um baneário implica instalações para tomar duche, um vestiário pode ser apenas para mudar de roupa, mas creio que são usados ambos os termos com o mesmo significado.
Não confundir vestiário com vestuário (Conjunto de todas as peças necessárias para uma pessoa se vestir; trajo; roupa.)