1.Yes, this phrase has gender changes:) Он должен был позвонить. Она должна была написать. Оно (although we don't say оно, we'd rather use ЭТО) должно было случиться. 2. Without any context it's hard to answer this, sorry. Grammatically they are different, that's for sure: after должен we put a verb (ты должен читать, он должен прийти), after должен быть it has to be some kind of state (одежда должна быть чистой, голос голжен быть громким, ты должен быть здесь в 9 утра) 3. Generally speaking, yes, they are same, although нужно sounds a liiiittle bit more official and надо is more colloquial

3. "Тебе нужно приходить в школу вовремя" = "Тебе надо приходить в школу вовремя". Уверен, что для русского уха это совершенно одинаково.

An addition: "Должно быть, ...." can be used as a parenthetical expression with the meaning "наверное", "likely". Должно быть, я где-то ошибся. "I must have made an error somewhere", "likely, I've made an error". More literally: "it-must be, I somewhere made-error". Or when you phone rings and you're not sure who it might be but you think it's me, you say "наверное, это Drasvi", or "это, наверное, Drasvi". "it must be Drasvi". Here you can use "должно быть" instead of "наверное".

Должен был/ должно было больше соответствуют формам should have + past participle or must have + past participle.