In English they are called "counters". It doesn't matter which one is used more often You have to use the correct one anyway. Pegasus is a constellation, not a horse. The flying horse is called "phoenix" 鳳. I don't think you count those, because you never see more than one.

　ご存じかも知れませんが、普通は哺乳類は「匹」で数えますが、ウサギだけは「羽」で数えます。なぜそうなったかには、ウサギの耳が鳥の羽みたいに見えるからという説や、哺乳類を食べることを禁じられていた僧が、ウサギを食べてもいいように「ウサギは鳥だ」と言って「羽」と数えたという説があります。 　所で、日本では最近、動物は全て「匹」で数える傾向にあります。アナウンサーが、「鳥が１匹」と言ったのを聞いたことがあります！もちろん、間違いなのですが、何十年か後には、「匹」に統一されてしまうかもしれません・・・。 　変な、面白い助数詞を考えてみたのですが、５０個の助数詞を知っているとのことなので（私が英語の読解を間違えていなければですが）、ほとんどのを知っておられるのでしょうね・・・。でも、思いつく限りあげてみます。 豆腐・・・丁（ちょう） タンス・・・棹（さお） そば・・・枚（まい） たばこ、お茶・・・服（ふく） エレベーター・・・基（き） 鏡・・・面（めん） 刀・・・振（ふり） 魚・・・尾（び）　　（匹でも数える。） 涙・・・粒（つぶ） ありすぎなので、この辺で。おやすみなさい・・・。

That's an interesting question. Of course, there are general rules for counters that you need to know. However, sometimes, things fall between the common categories. Also, sometimes daily/customary way and academic/formal way can be different. For example, たんす(chest for clothes) are formally counted as 一棹、二棹. But I don't be bothered by that. Just ひとつ、ふたつ works enough in daily life. If we really want to be accurate, even native speakers should look it up with some dictionary. I choose 羽 for ペンギン because I know it's bird. ペガソス is a kind of horse with wings, rather than a bird with horse-like head and body. So it should be 頭, I think. (At least, I'd choose 頭。） ＞動作にも助数詞が使われますか？ 数字＋助数詞はadverbとして使えます。 一日にごはんを三回食べる。 三歩歩いて二歩下がる。 ５km走る。 ２年間修行する。 赤いのは三倍早い。

I saw the following answer from Yahoo Japan, and it was chosen the best answer. 水族館では「羽」で間違いないです。ダチョウは大型鳥類ですのでダチョウの牧場等では「頭」と数えることもありますが、基本的に「羽」だそうです。(上野動物園談) 小型犬は「匹」大型犬は「頭」で基本的に動物は両手で抱えられるか否かで「匹」「頭」に分けます。鳥類は「羽」です。※(例外として)昆虫で学術的に「頭」を用いる場合もあります。 So I think ペーガソス（天馬）should use「頭」, because it's a bigger animal...