"Я попробую" = "я попытаюсь" = I will try. В этом контексте они полные синонимы

"я стараюсь" ("я постараюсь" в будущем времени) несколько более сильный глагол. "Я постараюсь" значит я не только "попробую" что-то сделать, но и приложу все возможные усилия (I'll do all my best). Если пробуешь, но при этом ленишься, делаешь с неохотой, то ты не стараешься.

"попробовать"   it means "do attempt" maybe it was success or not, but you attempted

"попытаюсь" it means future form from the verb "to try",  я попытаюсь= I will try.

"стараюсь" it means "I strive to do smth", i.e. "We are constantly striving to improve our service."

Так что я могу сказать: я попытаюсь говорить по-русски?

 Спасибо!