Sim, é possível nessa sua frase de exemplo. Mas é incomum na fala, especialmente no final de frases/orações. São mais comuns alternativas como 'também não' ou 'nem', nesses casos. Mas 'tampouco' não chega a ser uma palavra tão formal assim e pode ser utilizada tranquilamente, especialmente na escrita e no começo de novas frases/orações. Observe as opções e as correções:

"A senha que você me enviou pelo WhatsApp não deu [certo] [ou: 'não funcionou'], e a segunda senha tampouco." (Mais formal.)
"A senha que você me enviou pelo WhatsApp não deu [certo] [ou: 'não funcionou'], tampouco a segunda senha." (Soa melhor, mas ainda um pouco formal.)
"[...], nem a segunda senha." (Comum e soa bem.)
"[...] e a segunda senha também não." (Mais comum e mais informal.)

Não colocamos vírgulas antes de 'e' nesses casos. Abraços!

Realmente é raro alguém fazer uso de expressões faladas com 'tampouco'. Não acho que nesse caso seja uma questão de preferência pela informalidade, é mais uma escolha dos usuários da língua privilegiando uma forma em detrimento da outra.

Existe sim no português brasileiro uma lacuna enorme entre a língua informal cotidiana e a língua culta, mas há linguistas críticos da gramática 'oficial' que dizem que o problema está mais com o que é considerado culto do que com a língua de fato utilizada. 

Outras maneiras de dizer a mesma coisa são:

Não resisti às cervejas na geladeira, minha mulher muito menos. (resistiu menos ainda)

Fui ao mercado e não consegui me lembrar onde deixei o carro, para variar minha mulher menos ainda. (lembrou-se menos ainda)

É mais comum em linguagem escrita ver 'tampouco' usado da seguinte forma:

O presidente ignorou as perguntas e não esclareceu devidamente os fatos, tampouco se deu ao trabalho de ficar até o fim da sessão.

Tenho percebido no Italki que as pessoas se perguntam muito os porquês dos hábitos dos nativos de uma língua. É perda de tempo, a língua é o que é por séculos de evolução e milhões de escolhas individuais solidificadas na estrutura da língua. Não adianta brigar com isso, se é assim que os nativos falam é assim que você vai querer fazer para ser entendido e para não parecer muito esquisito.

"Também não" e "Tampouco" estão também na língua portuguesa porém é CORRETÍSSIMO dizer "também não". Não é questão que o português seja INFORMAL comparado a estrutura do espanhol, pois se olharmos assim, o espanhol aos ouvidos do Brasileiro é uma língua cheia de redundâncias desnecessária como " Yo le dije a el.... a mi me gusta " que isso seria um absurdo se fosse dito em português e também em espanhol se diz "Más grande e Más pequeño " que também soa horrível aos ouvidos dos Brasileiros, aliás, quem fala "mais grande" e "mais pequeno" no Brasil não é muito bem visto hehe. 

Cada língua tem a sua estrutura e mesmo soando estranho, não quer dizer que seja informal, coloquial, errado e etc. 

Mesma coisa diríamos do Inglês " I'll be going " se fosse traduzido ao português literalmente também seria muito mal visto, um gerundismo desnecessário.

Como professor de português para estrangeiros há anos, posso dizer que muitos estrangeiros não chegam a naturalidade e a fluência do português simplesmente por comparar as duas línguas constantemente, evite isto. 

Justin

O mais utilizado mesmo é também. Já vi expressões com tampouco, mas com menor uso.

Abraços

Vagner