Existem dois fenômenos. O formal e o informal. Formalmente é simplesmente como disseste: depende da pessoa que fala. Se a pessoa que fala é homem é "obrigado" se é mulher "é obrigada". A ideia é "eu sinto-me obrigado/a a recompensar-te de alguma forma".

No entanto muitas palavras portuguesas tem uma versão masculina e feminina com significados parecidos mas diferentes. O "obrigado" também entrou nesse fenômeno na informalidade especialmente em Portugal.

rio - ria

saco - saca

perno - perna

coxo - coxa

troco - troca

Desta forma por vezes se diz "obrigada" para dar uma impressão mais familiar e "obrigado" uma impressão mais profissional e subalterna independentemente de quem fala ser homem ou mulher.

O mesmo fenómeno acontece com "Sim, Senhor" e "Sim, Senhora", o povo usa em Portugal independentemente de com quem fala.

Sei que parece confuso, mas o nativo consegue alternar entra a maneira padrão ou formal pela maneira mais sentida ou lírica de forma muito fácil.

Hi Dani,

If you want to thank someone, the right way for you to say it is "obrigada" as you are a woman.

However, "obrigado" also means "obligated" in Portuguese. In this case, you have to say according to the gender of the person you are talking about. Example: My husband is "obrigado" to do some tasks for this job. 

You must always say "obrigada" because you are a woman.

Correction: Bruna Doberstein's comment is right. "Obrigado" can means obligated too.

Quando for uma mulher agradecendo, diz-se obrigada. Quando for um homem, diz-se obrigado.