Someone more versed in French should probably answer. I think neanmoins is more formal and means "Nevertheless" and "Cependant" is however. Nevertheless <statement> would mean that the previous result is completely independent of the <statement>.

Bonjour ! Les significations des deux mots sont assez proches. Il me semble que "néanmoins" indique une opposition plus marquée. > "Néanmoins" = malgré cela, en dépit de cela, en dépit de ce qui vient d'être dit. "Je suis malade, néanmoins je dois aller travailler" "Elle avait beaucoup travaillé, néanmoins elle ne réussit pas son examen de manière satisfaisante". > "Cependant" marque une restriction, une rupture, le passage à une étape nouvelle avec une nuance d'opposition. "Les épreuves pendant ce voyage furent nombreuses, cependant j'en revins assez satisfait". "Tout semble se dérouler comme prévu, cependant il y aura certainement des imprévus". Les synonymes sont "toutefois", "malgré tout", "malgré cela"... Cordialement.