1) verlieren an + Dat., aber dennoch ist es eine gute Frage :-) Obwohl Muttersprachlerin, musste ich auch darüber nachdenken, was wohl daran liegt, dass wir die Verbindung in der Regel in Ausdrücken ohne Artikel verwenden wie eben an Gewicht verlieren, so dass es am Ende relativ unwichtig ist, welcher Kasus hier gebraucht wird. 2) sich trauen - sich etw. zutrauen. Erstens sind die beiden Verben nicht exakt gleich. Zweitens hängt es davon ab, ob es noch eine weitere Ergänzung gibt: z.B. ich traue mich dort runterzuspringen (Infinitiv). Aber ich traue mir (Dat.) diese Aufgabe (Akk) zu. Drittens gibt es einen kleinen Bedeutungsunterschied: sich trauen ist konkreter, wie hier im Bsp. sehr physisch, sich etw. zutrauen mehr im übertragenen Sinn.

Bedeutung I.6 in: http://de.pons.com/%C3%BCbersetzung?q=verlieren&l=deen&in=&lf=en Bedeutung II in: http://de.pons.com/%C3%BCbersetzung?q=trauen&l=deen&in=&lf=en