신경 쓰지 않을 수 없어 is composed of 신경 쓰(다)+지+않(다)+을+수+없(다)+어 신경 쓰다 is a short form of "신경을 쓰다" means "bother, show concern" 지 is a connecting particle V지 않(다) means "don't V" 을 is a determiner particle 수 means "way,method" 없다 means "don't exist" V을 수 없(다) means "cannot V" 어 is an ending particle 신경 쓰지 않다 means "don't show concern" 신경 쓰지 않을 수 없어 means "I cannot don't show concern" => "I have to show concern"

신경 쓰다 : bother / pay attention 신경 쓰지 않다 : not paying attention / not bothering oneself (?) ㄹ 수 없다 : can't 신경 쓰지 읺을 수 없어 : impossible to not pay attention / impossible to not bother bonus 신경 쓰지 마 : don't bother / nevermind ps. I'm not a native korean speaker nor a native english speaker