Empeñarse tiene un sentido negativo, se usa para indicar que alguien insiste en hacer algo que no es correcto. "Se empeña en acabar antes de tiempo" Insistir es mas neutro. Indica que vuelves a hacer algo de nuevo para tratar de conseguirlo. "Yo voy a insistir hasta que alguien me dé una respuesta"

Empeñarse: Emplear un período temporal en alguna acción. Ejem: Empeñó dos años de su vida estudiando para el examen. Insistir:Repetir o hacer hincapié en algo/ Persistir o mantenerse firme en algo. Ejem: Mi hijo me insistió comprarle ese juguete toda la mañana Referencia: Diccionario de le lengua española ( http://dle.rae.es/?id=LlHNGby )

Empeñarse: dedicarle tiempo, esfuerzo y delicadeza un objetivo que se tiene. Insisitir: repetir una o varias veces algo que se dice o hacer hincapié hasta obtener lo que uno quiere.

¿Cuál es la diferencia entre "empeñarse" e "insistir"?