There are actually three inflections for adjectives ("erste"), but only one inflection for possesive pronouns ("meiner"). Details and tables here: https://en.wikipedia.org/wiki/German_adjectives#Weak_and_strong_inflection A definite article ("in DER ...") indicates weak inflection, so the ending is "-en". (Jake only explained two of them, and "definite article" (der/die/das) and "indefinite article" (ein) are not the only signals of usage.)

It is simply so. It's the rule. Memorize them. Welcome to German. Bestimmter Artikel: Maskulinum Nominative: der erste Genetive: des ersten Dative: dem ersten Akkusative: den ersten Femininum: Nominative: die erste Genetive: der ersten Dative: der ersten Akkusative die erste Neutral: Nominative: das erste Genetive: des ersten Dative: dem ersten Akkusative das erste Plural: Nominative: die ersten Genetive: der ersten Dative: den ersten Akkusative die ersten Unbestimmter Artikel: Maskulinum Nominative: ein erster Genetive: eines ersten Dative: einem ersten Akkusative: einen ersten Feminium Nominative: eine erste Genetive: einer ersten Dative: einer ersten Akkusative: eine erste Neutral: Nominative: ein erstes Genetive: eines ersten Dative: einem ersten Akkusative: ein erstes Have fun.