¡Hola a todos!
Para mí tampoco resulta evidente, a primera vista, cuál es el significado de esta expresión... En cualquier caso, sin duda, siempre es interesante conocer el origen de este tipo de expresiones, ¿verdad? :)
Si te ayuda, quizá puedes pensar en posibles equivalentes en inglés, como "(do something) right off the bat", o "at the drop of a hat", donde parece que se usa una comparación para indicar inmediatez, ¿verdad...?
¡Un saludo!
P. D.: Por cierto, ¿conoces también la expresión "A la primera de cambio"? Esta viene del ámbito de la banca... ¡y significaría lo mismo!