A verb 'erwünschen' does not exist - there is only the participle form 'erwünscht' (But you cannot say: Ich erwünsche, du erwünschst.) So what is the difference between 'gewünscht' und 'erwünscht'? When something is 'gewünscht', there is somebody who wants it. When a thing or an outcome is 'erwünscht', some people would be glad to get it or to see it. "Fritz hat sich zu Weihnachten ein Fahrrad gewünscht. Das gewünschte Fahrrad hat er aber nicht bekommen, sondern nur einen Kinderroller." "Das von Ihnen gewünschte Modell ist leider nicht mehr erhätlich." "Hier kommt Ihr gewünschtes Zigeunersteak." "Die Versuchsreihe brachte die erwünschten Resultate." "Werbung unerwünscht!" "Der erwünschte wirtschaftliche Aufschwung ist bislang ausgeblieben."

Sometimes the word "erwünscht" has the sense of "ersehnt".