「~せよ」は、「~しなさい」「~してください」と同じ意味があり、少し略した形の命令形です。 単なる命令（要求）の場合もありますが、アドバイスの意味が含まれていることもあります。（文章によります） ただ、文章の中で使うことが多く、人に対して話をするときに使うことは少ないと思います。 例えば、 ①「謝罪せよ」 　＝「謝罪しなさい」（「謝罪する」の命令形） ②「答えを求めよ」 　＝「答えを求めなさい」（「答えを求める」の命令形） 　　よく日本の数学のテストでみられる使い方で、「（数学の）答えを出してください（計算してください）」という意味で使われます。 ③「（~に）注意せよ」 　→「（~に）注意しなさい」と同じ命令形ですが、文章によっては「（~に）注意したほうがいいですよ」というアドバイス･忠告の意味が含まれている場合もあります。 「~（し）たまえ」も「~しなさい」の意味をもつ命令形ですが、「せよ」とは少し違います。 これは、話し言葉で使われることが多く、 強い命令形なのか、柔らかい意味を持つのかは、話し方やその場の状況によって変わります。 例えば、 ①「座りたまえ」=「座りなさい」「座ってください」 ②「頑張りたまえ」=「頑張りなさい」「頑張ってください」 もう少し付け加えると、「~（し）たまえ」は少し古い言い方なので、 今使う人は少なく、「~しなさい」ということが多いです。 また、目上の人が目下の人に使う言い方で、 人によっては "偉そう･失礼 (arrogant / rude)" に聞こえることもあるので、気を付けたほうがいい使い方です。

「せよ」と「たまえ」は違います。 私の感覚で回答しますので、厳密な文法として正解の答えではないかもしれません。 「せよ」という言葉を使うとしたら、相手に選択の余地はありません。 一方、「たまえ」という言葉には、相手に何かを勧める時にも使う事ができます。例えば「食べたまえ」は、「是非食べてください。」「遠慮しないで食べてください」という意味です。上司が部下に「遠慮しないで食べたまえ」と、わざと命令口調でいう事で、部下が食事をしやすくなります。