さびしいand さみしいare basically the same. さびしい is the standard word used in textbooks, news broadcasting, public and/or formal speech etc. さみしい is more colloquial version of さびしい. Also, it sounds softer because of the sound "mi" instead of "bi".

さみしいは、さびしいが変化したものです。 平安時代・鎌倉時代からさびしいと使われていました。 江戸時代からさみしいは使われるようになりました。 さびしい→さみしいに変化 両方とも古くから使われているので共通語と認識されています。 ひとつ言える事は、 さびしいは、客観的・主観的な表現の両方に使うことが出来ます。 また、内閣告示されている「常用漢字表」では、「寂しい」の読み方は「さびしい」となっており、「さみしい」は認められていません。 ですから正式な場合さびしいと書きます。 さみしいは主観的・情緒的な表現する時に多く使われます。 ですから、ドラマでは自分の思っている事（情緒）を言うためにさみしいが使われていると思います。 参照　NHK放送文化研究所　他 　　　　 I am sorry not to be able to illustrate by English.