정하다 = 결정하다 (decide - more informal).
결정하다 = 선택, 진로 등을 분명히 하다 (decide).
결심하다 = 어떤 일을 하기로 마음을 굳게 먹다 (resolve (to do something)).
마음을 먹다 = 앞으로의 행동에 대한 생각을 굳히다.
정하다, 결정하다는 주로 여러 가능성 중에서 하나를 선택한다는 의미인데, '정하다'는 특히 간단한 선택을 뜻할 때가 많아요.
'결심하다'는 선택의 의미보다 어떤 일을 꼭 하겠다는 굳건한 다짐(resolurion)을 말해요.
'마음을 먹다'는 '결심하다'의 동의어인데 뜻이 더 약하고 부드러워서 일상에서 가벼운 의미로 많이 써요.