Loneliness is a feeling / subjective. Being alone is more, like, physical / objective. You can be alone without feeling lonely, and you can feel lonely in a room full of people.

I am alone. -Я один. 

Lonely man. Одинокий мужчина. 

Как я понимаю, разница в том, что lonely - прилагательное и ты используешь его с только существительными. Также ты можешь сказать to feel lonely -чувствовать себя одиноко. Сказать to feel alone-нельзя!

Alone ты используешь после вспомогатлетного глагола, I am alone. We are alone. He is alone. 

lonely means you are sad

alone means you are ur own .. nobody is with u