試験に。。。

今日は日本語のテストがある。勉強したい。
でも時間がもっと欲しい。*verb欲しい「私は～が欲しい」（long as there is でも it's better でも時間がない）
今週皆もとても急いでいた。？（verb急ぐ＝rush、皆も＝also all (friends and family etc.)）

I guess you want to say 今週は色々ととても忙しかった。(I was very busy in various ways this week.)

昨日僕は大学のコンテスト用（/のため）にゲームを作った。

それから、アルバイトをした。

来週から試験をはじめる（/試験がはじまる）。*with "をはじめる" subject is "わたし", with "がはじまる" subject is "試験"　so, 試験をはじめる means you choose the exam and do it.

休みと夏休みがほしいよ！　助けて！

Not sure about: 「昨日僕は大学のコンテストにゲームを作った。」　Is that right? "I made a game for a university contest yesterday"?　

・・・ more or less that is right, but I added "用（/のため）"　in front of 　"に"

Could you tell me what is the contest?