Sí, Kala, "la" en este caso hace referencia a la hermana. Sería como "who" en inglés: ☛ It was my nine-year-old little sister 'who' gave him that name. También se podría sustituir "la que" por "quien" así: ☛ Fue.mi hermanita de nueve años 'quien' le puso ese nombre. Espero que te sea de ayuda, Kala. ¡Un afectuoso saludo!

Se refiere a la niña. Fue mi hermanita de nueve años la (chica) que le puso ese nombre. It was my 9-years-old sister the one who gave it that name.

This "la" is the same as "la persona" Is a pronoun that replace the noun