Hazaña, pues es generalmente usada para describir una acción mas importante y es uina palabra mucho mas comun. Jamas he escuchado a alguien decir gesta en una conversación casual.

Son iguales, una de origen latino y otra árabe. Usaría gestas para los logros importantes y mas físicos y hazaña para los imposibles y únicos, pero son sinónimos.

Las dos. Quizás yo usaría más hazaña.