A veces se usa la expresión "despertar" , no solo para cuando uno está dormido, sino cuando uno se encuentra en cualquier estado de inconsciencia. Ej: "Mi padre despertó del coma", "despertó del desmayo", "despertó del sueño" Así que, personalmente creo que es correcto

Si es correcto decir así.

Yo no lo diria asi, pareces ignorante.

es que dormir es el antónimo de despertar. DORMIR hace referencia a un estado prolongado de sueño por lo tanto es incoherente con un desmayo que dura segundos o minutos. y a la pregunta de si es correcta la expresión: "Al despertarme del desmayo", yo pienso, que aunque se entiende lo que quiere decir, la expresión es incorrecta, porque usar la palabra DESPERTAR hace referencia a que estaba dormido, es mejor buscar otra palabra en vez de despertar o usar otra expresión.

Gramaticalmente estaría correcto, pero no creo que un hispano hablante lo dijera de esa forma. Creo que sería mejor, "al reaccionar después de haberme desmayado" o "al despertarme después de desmayarme" o como dijo Astrid "cuando recuperé el conocimiento, después de haberme desmayado"