La primera, múltiplemente, seria correcta. Anyadir "mente" a una palabra no la hace esdrujula, pero si ya era esdrujula antes, entonces se mantiene. Múltiple, al tener tres silabas y tener el acento en la primera, es una palabra esdrujula q se debe acentuar. Sin embargo debo decir q no se usa tanto en mi opinion. Yo dira, en multiples ocasiones. (no uso tildes pq mi teclado no tiene :) )

Tantas gracias.

No todos los adjetivos se pueden convertir en adverbios añadiéndoles el sufijo -mente Respecto a múltiplemente, no aparece en el diccionario de la Real Academia de la Lengua, lo cual no significa que no exista ya que no aparecen todos los adverbios acabados en mente. En cualquier caso es una palabra que personalmente me suena extraña y que nunca he usado ni creo que usaría. Lo sustituiría por una perífrasis tipo "de manera múltiple". Significaría de muchas formas diferentes.