I should say you're only partially right.
First of all, the -ㅂ니다만 form is not a contraction of -ㅂ니다. 다만.
('다만' is a special adverb with the meaning of "Except that ...". It is not used widely like "but" in English.
-ㅂ니다만 is a contraction of -ㅂ니다. 그렇지만(but).
-지만 is the most common for connecting a phrase with "but", regardless of the speech style.
So your sentence would be much more natural as:
- 친구는 학교에 갔습니다. 그렇지만 저를 못 만났어요 == 친구는 학교에 갔지만 저를 못 만났어요.
Note the four common sentence endings of 가다 and what happens when they connect with 그렇지만.
- 오늘 학교에 갑니다. 그렇지만 내일은 쉽니다 -> 오늘 학교에 가지만 내일은 쉽니다.
- 오늘 학교에 간다. 그렇지만 내일은 쉰다 -> 오늘 학교에 가지만 내일은 쉰다.
- 오늘 학교에 가요. 그렇지만 내일은 쉬어요 -> 오늘 학교에 가지만 내일은 쉬어요.
- 오늘 학교에 가. 그렇지만 내일은 쉬어 -> 오늘 학교에 가지만 내일은 쉬어.
As you can see, -지만 is used in all cases because the different speech styles only show up at the end of the sentence.
I hope that answers your question. If not, don't hesitate to ask again.