Se vuoi la definizione grammaticale, questo è un 'complemento predicativo'. È vero, dopo un verbo di solito ci si aspetta un avverbio, nel senso che ci si aspetta un 'modificatore', qualcosa che 'specifichi' il verbo. Ma in questo caso 'puntuale' si riferisce al soggetto. È un aggettivo perché specifica il soggetto, che è un sostantivo. È qualcosa di simile al 'predicato nominale' col verbo 'essere'. Il verbo essere fa da 'ponte' tra il soggetto e una certa 'qualità' (o anche un altro sostantivo) attribuita al soggetto stesso: 'Maria è bella', 'Luigi è buono'. La frase 'Giuseppe è arrivato puntuale' ha una struttura simile a 'Giuseppe è puntuale'. Nel secondo caso intendiamo dire che 'puntuale' è una qualità che appartiene a Giuseppe, cioè lui è una persona puntuale, mentre nel primo caso vogliamo dire che è stato puntuale in quella circostanza (può darsi che lo sia sempre, ma la frase presa isolatamente non ce lo dice). Ci sono verbi che hanno sempre bisogno di questo 'completamento' riferito al 'soggetto', ad esempio 'diventare': 'Laura è diventata...' : questa frase non avrebbe senso se finisse così. Quindi dev'essere completata, ad esempio, con: 'Laura è diventata grande'. Esiste anche il complemento predicativo dell''oggetto' (del complemento oggetto): 'Io considero Mario INTELLIGENTE'. Esistono anche aggettivi usati in funzione di avverbi, ma sono un'altra cosa.

Credo che qui "puntuale" si riferisce non proprio alla maniera in cui si arriva, bensì descrive (come dovrebbe essere) la persona una volta che sarà arrivata, è un po' come "sii puntuale quando arriverai". Si vede questo fenomeno anche in altri casi, ad esempio "accorrete numerosi!" in cui "accorrete" è pur sempre un verbo, ma "numerosi" è un aggettivo anziché un avverbio.