기우뚱하다 (closer to 기울다) describes something tilting or careening momentarily. 기우뚱 describes the transient motion. 갸우뚱하다 has a lighter feel and most often describes people tilting their head at something curious or enigmatic.

기울다 (vi) means some object has tilted and settled in that position.

기울이다 (vt) is the causative form of 기울다, meaning making something tilt or lean. It can also mean pricking up the ear / directing one's full attention (귀를 귀울이다), pouring ones' efforts (노력을 기울이다) or pouring a liquid by tilting the container (병/잔을 기울이다).

비슷한 뜻이네요 ^^

그런데 갸우뚱 하다 하면 느낌이 많이, 뭐랄까 그 사람의 기분이 느껴져요.

저 사람이 왜 고개를 "갸우뚱" 하고 있을까? 무슨 생각을 많이 하고 있나? 이런 느낌이에요.

반면에 저희는 "기울이다" 는 물리적인 표현에 많이 써요. 사람한테는 잘 쓰지 않는 표현이에요. 물건을 옆으로 기울이다. 뭐 이런 식이에요.

더 자세한 대답이 필요하시면 지금 읽고 계시는 문장 전체를 다 보내줘 보세요. 제가 해석을 달아드릴게요.