çok teşekkür ederim :) yazdığın için sevindim. (what you wrote is correct but you can also say "<em style="font-size: 13px;">mesajını okumak beni mutlu etti</em>" = reading your mail made me happy)

Burada (vakit) çok erken, henuz değil yatmadım maalesef. yattım has a positive meaning, yatMAdım has a negative meaning. thus we dont need <em>'değil</em>' here.

Henüz değil mesaj göndermediğim için özür dilerim. Im sry for stg

Mükemmel yazmak istedim. it is a bit assertive. well, maybe not for you :) 

Olmaz biliyorum ama, yine de yazmaya çalışıyorum. ('yine de' has a meaning like yet, anyway. in this sentence = i know it wont happen but i try to do it anyway)

Ben daha iyi olacağıma, inanıyorum :) we use this case, (-a/-e case) of the noun with the verb inanmak = to believe. for example, allaha inanıyorum, sana inanıyorum, ona inanıyorum, bu fikre inanıyorum.

umarım çabuk olur. it is preferable to use present simple tense however you can also use "umarım çabuk olacak" by omitting 'ama'. 

...

Eğer İstanbul’a gideceksem, umarım hava güneşli olur (likewise)

bekleyemiyorum. you wanted to say "i cant wait", right? it is better to use "sabırsızlanıyorum". congratulations on your graduation :)

ne başka (ayrıca), erkek arkadaşımdan ayrıldım.

Ağladım ama en iyisi buydu. meaning, i cried but this was the best.

Hala diyet yapıyorum. On hafta önce başladım diyetime ve 7 kilo verdim. (bir şeye başlamak. just like the verb inanmak)

Bu maili yazmak çok zor...Hadi, saat sabah 6 :) dondurma yiyeceğim haha şaka şaka.. aslında şaka değil :D what kind of a diet is this? i want to try it too :P

personally, i believe that you were writing better on your own :) but dont let this sentence discourage you. just know that google translations sucks when it comes to turkish. dont trust it too much.